Methoden zur Schätzung der Zinsstrukturkurven

Eine kontinuierliche Zinsstrukturkurve wäre direkt am Rentenmarkt beobachtbar, wenn für jede Fristigkeit die Notierung einer Nullkuponanleihe mit geringem Ausfallrisiko vorhanden wäre.[1] Aus den Kursen von Nullkuponanleihen lassen sich direkt die Zinssätze für die entsprechenden Laufzeiten ablesen, da der Preis einer Nullkuponanleihe identisch zu dem Wert der Diskontfunktion des entsprechenden Zinssatzes ist. In anderen Worten, die Diskontfunktion beschreibt den Gegenwartswert einer Einheit, die zu einem zukünftigen Zeitpunkt gezahlt wird. Daher bezeichnet man den Diskontfaktor auch als Nullkuponanleihe-Preis.[2]

Diskontfunktion einer ZeroKuponanleihe

Es gibt aber nur eine geringe Zahl solcher Anleihen, das es sich bei dem überwiegende Anteil der im Umlauf befindlichen Anleihen um Kuponanleihen handelt.[3] Dazu kommt, dass die beobachtbare Renditestrukturkurve im Laufzeitbereich über 10 Jahre Lücken aufweist. Auch separat gehandelte Zinsansprüche (sogenannte Strips), die den Charakter von Nullkuponanleihen haben, werden in der Praxis meist aufgrund der mangelnden Liquidität der Kurse, steuerinduzierten Klienteleffekte oder der höheren Konvexität am langen Ende, nicht als Alternative gesehen. Alternativ könnten die Zinssätze auch direkt aus Preisen von Zinsswaps, Forward Rate Agreement und Zinsfutures abgelesen werden. Dies würde den möglichen Schätzfehler eines Zinsmodels vermeiden, hat aber den Nachteil, das Preise aus sehr unterschiedlichen Instrumenten aggregiert und verglichen werden, was Probleme hinsichtlich der Homogenität der Daten erzeugt.[4] Außerdem beinhalten diese Instrumente ein nicht unwesentliches Kontrahentenrisiko (engl. counterpart risk).[5] Daher ist die indirekte Ableitung der Zinsstrukturkurve aus den Renditen von Kuponanleihen das theoretisch bessere und konsistentere Vorgehen.[6]


Im Fall einer mehrjährigen Kuponanleihe ist es nicht möglich den Zinssatz direkt abzulesen, da zu unterschiedlichen Zeitpunkten Zahlungen anfallen. Um Nullkuponzinssätze ermitteln zu können, müssen diese einzelnen Zahlungen nicht mit konstanten, sondern mit laufzeitenspezifischen Zinssätzen diskontiert werden. Die Bestimmungsgleichung des Kurses der Kuponanleihe enthält also mehrere Unbekannte, weshalb die Zinssätze iterativ ermittelt werden müssen. Dazu werden aus einer vorgegebenen Zinsstrukturkurve theoretische Renditen errechnet und den beobachteten Umlaufsrenditen gegenübergestellt. Für die Schätzung kontinuierlicher Zinsstrukturkurven aus den Renditen von Kuponpapieren muss, ebenso wie im Fall der Schätzung von kontinuierlichen Renditenstrukturkurven, eine Modellannahme über den funktionalen Zusammenhang zwischen Zinssätzen und Laufzeiten getroffen werden. Aus der Vielzahl der existierenden Modellansätze hat sich der von Nelson und Siegel entwickelte und von Svensson erweiterte Ansatz als gute Kompromisslösung durchgesetzt.[7] In dem Nelson/Siegel/Svensson Modell wird der Zinssatz als die Summe aus einer Konstanten und verschiedenen Exponentialtermen sowie als Funktion von insgesamt sechs Parametern definiert.[8] Das Model schätzt eine kontinuierliche stetige Zinsstrukturkurve. Daher müssen die nach der Svensson Methode ermittelten stetigen Zinsen in diskrete Zinsen übergeführt werden um wie üblich als diskrete Diskontfaktoren in der Bewertung Anwendung zu finden.[9]


Die Bundesbank, die Europäische Zentralbank und die Federal Reserve (FED) schätzen auf täglicher Basis die Parameter für die Svensson Gleichung.[10] Der Arbeitskreis für Unternehmensbewertung (AKU) des IDW empfiehlt aus Gründen der Nachvollzieh- und Objektivierbarkeit für die Modellparameter auf die Daten der Bundesbank zurückzugreifen.[11] Verwendet man die Daten der Bundesbank, ist allerdings zu beachten, dass die von der Bundesbank veröffentlichenden Parameter direkt zu diskreten Zinsen führen, da die Bundesbank die Diskontierungsfunktion abweichend von der Vorgehensweise in Svensson berechnet.[12]

Einzelnachweise:

    1 Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 63
    2 Vgl. Schich (1997), S. 8
    3 Deutsche Bundesbank (1997), S. 63
    4 Vgl. Schich (1997), S. 2
    5 Vgl. Remolona/Wooldridge (2003), S. 60 f., und Sundaresan(2002), S. 563-567
    6 Vgl. Schich (1997), S. 2, Reese / Wiese (2006), S. 7 und Obermaier (2005), S. 14
    7 Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 63 und Schich (1997), S. 17 f. und S. 25
    8 Nelson/Siegel function, where Nelson/Siegel function
    9 Vgl. Nelson/Siegel (1987), S. 473-489, Svensson (1994), und Reese / Wiese (2006), S. 10
    10 Vgl. http://www.bundesbank.de/statistik/statistik_zinsen.php, http://www.ecb.int/stats/money/yc/html/technical_notes.pdf, und http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2006/200628/200628pap.pdf. Abgerufen am 3. December 2011.
    11 Vgl. IDW (2005), S. 555-556
    12 Vgl. Reese / Wiese (2006), S. 11

Literatur:

  • Ballwieser, Wolfgang (2003): Zum risikolosen Zins für die Unternehmensbewertung, in: Richter, Frank / Schüler, Andreas / Schwetzler, Bernhard (Hrsg.): Kapitalgeberansprüche, Marktwertorientierung und Unternehmenswert, Festschrift Drukarczyk, Stuttgart
  • Ballwieser, Wolfgang (2004): Unternehmensbwertung – Prozess, Methoden und Probleme
  • Deutsche Bundesbank (1997): Schätzung von Zinsstruktukurven, in: Deutsche Bundesbank (Hrsg.): Monatsbericht Oktober 1997
  • Drukarczyk, Jochen (2003): Unternehmensbewertung, 4. Aufl., München
  • IDW (2005): Arbeitskreis zur Unternehmensbewertung – Eckdaten zur Bestimmung des Kapitalisierungszinssatzes bei der Unternehmensbewertung – Basiszinssatz, in: FN-IDW (Hrsg.), Nr. 8, S. 555- 556
  • IDW S 1 i.d.F. 2008
  • Nelson, Charles R./Siegel, Andrew F. (1987): Parsimonious Modeling of Yield Curves, in: JoB, Vol. 60, S. 473-489,
  • Jonas, Martin / Wieland-Blöse, Heike / Schiffarth, Stefanie (2005): Basiszinssatz in der Unternehmensbewertung, in: FB, 7. Jg., S. 647-653
  • Obermaier, Robert (2005): Unternehmensbewertung, Basiszinsatz und Zinsstruktur – Kapitalmarktorientierte Bestimmung des risikolosen Basiszinssatzes bei nicht-flacher Zinsstruktur, Regensburger Diskussionsbeiträge zur Wirtschaftswissenschaft, Nr. 408, Universität Regensburg
  • Obermaier, Robert (2006): Marktzinsorientierte Bestimmung des Basiszinssatzes in der Unternehmensbewertung, in: FB, 8. Jg., S. 475, Knoll, Leonhard (2006): Basiszins und Zinsstruktur, Anmerkungen zu einer methodischen Neuausrichtung des IDW, in: WiSt, 35. Jg., S. 527
  • Reese, Raimo / Wiese, Jörg (2006): Die kapitalmarktorientierte Ermittlung des Basiszinses für die Unternehmensbewertung – Operationalisierung, Schätzverfahren und Anwendungsprobleme
  • Remolona, Eli M./Wooldridge, Philip D. (2003): Der Markt für Euro-Zinsswaps, in: BIZQuartalsbericht, März 2003
  • Schich, Sebastian T. (1997): Schätzungen der deutschen Zinsstrukturkurve, Diskussionspapier 4/97, Volkswirtschaftliche Forschungsgruppe der Deutschen Bundesbank
  • Sundaresan, Suresh M. (2002): Fixed Income Markets and their Derivatives, 2. Aufl., Cincinnati.
  • Svensson, Lars E. O. (1994): Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994, NBER Working Paper, September 1994, No. 4871, Cambridge
  • Wagner, Wolfgang / Jonas, Martin / Ballwieser, Wolfgang / Tschöpel, Andreas (2006): Unternehmensbewertung in der Praxis – Empfehlungen und Hinweise zur Anwendung von IDW S1, erscheint in: WPg, 59. Jg., S. 1016

1. Introduction to risk-free rate

The risk-free interest rate is the theoretical rate of return of an investment with zero risk, i.e. the risk-free rate represents the interest an investor would expect from an absolutely risk-free investment over a given period of time. For arbitrage reasons, there is only one single unique risk-free investment from a theoretical perspective. Differences can only arise from different currencies, i.e. in nominal terms (so-called "Fisher Equation"). Though a truly risk-free investment exists only in theory, in practice most professionals and academics use government bills (for short-term reference) or bonds (for long-term reference) of the currency in question. For USD investments, usually US Treasury bills or bonds are used, while a common choice for EUR investments are German government bills or bonds, which have proved to be among the securest assets within the European countries during the financial crisis. These kinds of securities are considered to be risk-free because the likelihood of these governments defaulting is extremely low, which is reflected in their highest possible rating (e.g. AAA in S&P rating classification).

The relation between the interest rate (or cost of borrowing) and the time to maturity of the debt for a given borrower in a given currency is called yield curve. Yield curves are usually upward sloping asymptotically: the longer the maturity, the higher the yield, with diminishing marginal increases (i.e. as one moves to the right, the curve flattens out). There are different explanations for upward sloping yield curves. One explanation is that risk-averse investors who are willing to lock their money in today need to be compensated for the possible changes in the respective rates, i.e. they demand a higher interest rate on long-term investments.

Apart from the relationship between maturity and interest rate reflected in the yield curve, it is also necessary to understand compounding and day count conventions to understand discount rates published correctly. The table below depicts the default conventions:

  Discount Factor Compounding Factor Interest Accrued
Continuous
Discrete
Simple
Linear

Source: H.-P. Deutsch, Derivatives and Internal Models, 2002.

 

2. Application and guideline

The risk-free interest rate is of significant importance to Modern Portfolio Theory in general, and is an important input factor for rational pricing (e.g. Black-Scholes formula) and valuation theory (e.g. CAPM as basis for the discount rate) which are closely linked to the Modern Portfolio Theory. While theory often assumes that market participants can borrow at the risk-free rate; in practice, very few borrowers have access to finance their investments at a real risk-free rate. Therefore, and due to their higher relevance as refinancing benchmark for financial institutions, interbank offered rates (e.g. Libor or Euribor) are often used as a proxy for the risk-free rate.

Valuation regularly requires discounting over a certain period of time. Therefore, it is necessary to define an appropriate benchmark for the risk-free rate which accounts for a multi-period setting. In practice, two ways are common: (i) selection of risk-free rate by choosing an appropriate maturity which is in line with the maturity of the cash flows of the valuation object (e.g. for enterprise valuation, bonds with a maturity of 10-30 years are used) or (ii) generation of a zero curve which allows for highly accurate discounting according to the specific cash flow structure of the asset under consideration (so-called Svensson method). The latter approach can be used to determine a risk-free rate which accounts for the respective yield curve and the cash flow structure of the valuation object but is constant for the different discounting periods, i.e. which is comparable with the first approach but with a maturity according to the duration of the valuation object determined implicitly by the shape of the yield curve and the cash flow pattern. If data is available to perform the latter approach, it gives a very accurate theoretical benchmark for the risk-free rate and is, as such, preferable.

3. Theoretical excursion – Svensson methodology

In the absence of explicit forward markets, implied forward interest rates have to be estimated from interest rates on existing financial instruments. To compute implied forward interest rates from yields to maturity on zero coupon bonds, spot rates, is easy. To compute implied forward interest rates from yields to maturity on coupon bonds is more complicated. Inconveniently, almost all bonds with time to maturity beyond 12 months are coupon bonds rather than zero coupon bonds. Yields to maturity on coupon bonds are not identical to yields to maturity on zero coupon bonds of the same maturity. Since a coupon bond can be seen as a portfolio of zero coupon bonds of different maturities (each zero coupon bond corresponding to a particular coupon payment), yields to maturity on coupon bonds are a kind of average of yields to maturity on zero coupon bonds of maturities from the time of the first coupon payment to the time of the payment of the face value and last coupon. Estimating forward rates from coupon bonds can then be seen as involving two steps: first, implied spot rates are estimated from yields to maturity on coupon bonds (so-called bootstrapping), and then implied forward rates are computed from implied spot rates.

Nelson and Siegel (1987) assume that the instantaneous forward rate is the solution to a second-order differential equation with two equal roots. Simplifying the notation by letting f(m) denote the instantaneous forward rate f(t,t+m) with time to settlement m, for a given trade date t. The forward rate function proposed by Svensson in his paper from 1995 can be considered as an extension of the Nelson/Siegel function and is given by:

Nelson/Siegel function,

where

Nelson/Siegel function.

 

The spot rate can be derived by integrating the forward rate according to:

Forward rate function.

 

Let i(m) denote the spot rate i(t, t+m) with time to maturity m, for a given trade date t. It is given by

Forward rate function

Forward rate function

Forward rate function

 

The discount function is then given by:

Discount function.

Source: Svensson, L (1995), Estimating forward interest rates with the extended Nelson & Siegel method, Sveriges Riksbank Quarterly Review, 1995:3, page 13.

 

4. Publicly available data

5. Critical comments on Svensson method and proposed enhancements

Critical comments concerning the parametric versus spline-based methods have been provided by Anderson/Sleath (1999): the simplest method is to define the forward rate curve, f(m), as a function, f(m,b), of a set of unknown parameters, b. This is the approach taken both by Nelson and Siegel (1987) and by Svensson (1994, 1995). In these models, the parameters are related to the long-run level of interest rates, the short rate, the slope of the yield curve and humps in the curve. Svensson'¬s model can be regarded as an extended version of Nelson and Siegel's model, with an additional hump to help fit bond prices in the market. At the long end of the yield curve, the Svensson model is constrained to converge to a constant level. The rationale for this constraint is based on the assumption that forward rates reflect expectations about future short interest rates, or equivalently, that the unbiased expectations hypothesis holds. Assuming that this is true, it seems implausible that agents will perceive a different path for the future short rate in 30 years time compared with, say, 25 years. So, one would expect to see constant expectations and forward rates at the long end.

6. Literature/Reference

  • Nelson/Siegel (1987), Parsimonious modelling of yield curves, Journal of Business, Vol 60, page 473. Svensson (1994), Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden 1992, IMF Working Paper, No 114.
  • Svensson (1995), Estimating forward interest rates with the extended Nelson & Siegel method, Sveriges Riksbank Quarterly Review, 1995:3.
  • Anderson/Sleath (1999), New estimates of the UK real and nominal yield curves, of the Bank's Monetary Instruments and Markets Division, Bank of England Quarterly Bulletin: November 1999.
  • H.-P. Deutsch, Derivatives and Internal Models, 2002.

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